求函数值域的方法_函数值域的求法及例题

最近很多学生在追寻关于求函数值域的方法的解答，今天平编为大家聚集10条解答来给大家详解！ 有78%小白玩家认为求函数值域的方法_函数值域的求法及例题值得一读！

1.常见的几种求值域的方法

利用不等式的性质来求出函数的值域，和下面的判别式法都是求函数值域的基本方法求函数值域的方法 函数的值域是由函数的定义域与对应关系确定的，因此，要求函数的值域，一般应先分析其定义域，不能简单地从函数关系来观察． 求函数的值域的方法很多，技巧性也很强，这里介绍几种最常见的基本方法．
（1 观察法 一些简单的函数，常可以通过对函数的解析式进行变形，然后对其定义域和对应关系进行分析，即可获得其值域（见例1 ．
（2 图象法 如果某些函数从解析式不易求出它的值域，而函数的图象又较易画出来，一般可以利用函数图象而直接求出其值域（见例2，例4 ．
（3 如果一个有理函数式y＝f（x ，通过适当变形可以化为关于x的一元二次方程．这时，由于该函数的定义域不是空集，即存在实数x是上述所得的关于x的一元二次方程的解．从而该方程的根的判别式Δ≥0．由此，求得y的取值范围，即函数的值域（见例3 ． 此外，求函数值域的方法还有配方法、换元法、反函数法、不等式法，以及运用函数的单调性，有界性等． 老了不死：请到这里下载，有10中

2.求函数值域的方法有哪些?

如果对于初等函数(你们接触的那些函数应该一般都是),如果没有限定定义域,也就是可以取定所有x可以取到的值,而且反函数存在,那么就可以用一楼说的求反函数定义域的方法来求. 但这显然不是一个通用的方法. 实际上求值域就是要尽量画出函数的图象来,就算不知道精确图,能画出个大概的样子也行,看x的一步步变化和函数y的变化情况,然后求出y的范围. 比如对于具有单调性的函数,你可以根据x的取值求出最左边那个点和最右边那个点,也就是最小和最大值,如果这个函数在这个区间内还是连续的,那么它的值域就是 这个区间; 再有,如果不是整个单调的,甚至是不连续的,你就分段看单调性,画出图象大概的变化情况,如果有些特殊点可以求出来,就把特殊点求出来方便你画图. 对于一些常用的函数,比如二次函数也就是抛物线,它的最小最大值的求法无非是2种情况,一种是在某个区间内单调(对称轴两边),一种是刚好可以取到对称轴的那个点作为最值. 再具体的你就要举些例子来问了. 不如你做了习题再来这里问,我帮你解答. 自己总结习题上的各个方法也是一个能力的考验...加油吧...

3.求函数值域的方法有几种（至少十种 ？

函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；
②逆求法（反求法 ：通过反解，用 来表示 ，再由 的取值范围，通过解不等式，得出 的取值范围；常用来解，型如： ；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式法：转化成型如： ，利用平均值不等式公式来求值域；
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。

4.求函数的值域的方法?

求 函数值域的几种常见方法 1．直接法：利用常见函数的值域来求 一次函数y=ax b(a 0)的定义域为R，值域为R； 反比例函数 的定义域为{x|x 0}，值域为{y|y 0}； 二次函数 的定义域为R， 当a0时，值域为{ }；当a0时，值域为{ }. 例1．求下列函数的值域
① y=3x 2(-1 x 1)
②
③
④ 解：
①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x 2 5，即-1 y 5，∴值域是
②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2}
③
④当x0，∴ = ， 当x0时， =－ ∴值域是 ， 当x=3时，y= -2；x=4时，y=1； ∴在上， =-2， =1；值域为.
③∵顶点横坐标2 ，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2, ∴在上， =-2， =1；值域为.
④∵顶点横坐标2 ，当x=0时，y=1；x=2时，y=-3, x=5时，y=6, ∴在上， =-3， =6；值域为. 注：对于二次函数 , ⑴若定义域为R时，
①当a0时，则当 时，其最小值 ；
②当a0时，则当 时，其最大值 . ⑵若定义域为x ,则应首先判定其顶点横坐标x0是否属于区间.
①若 ,则 是函数的最小值（a0 时或最大值（a0 时，再比较 的大小决定函数的最大（小 值.
②若 ,则是在 的单调区间内，只需比较 的大小即可决定函数的最大（小 值. 注：
①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小 值；
②当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3．判别式法（△法 ： 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式，解题中要注意二次项系数是否为0的讨论 例3．求函数 的值域 方法一：去分母得 (y-1) (y 5)x-6y-6=0
① 当 y11时 ∵x?R ∴△=(y 5) 4(y-1)×6(y 1) 0 由此得
(5y 1) 0 检验 时 （代入
①求根 ∵2 ? 定义域 { x| x12且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入
①求得 x=2 ∴y11 综上所述，函数 的值域为 { y| y11且 y1 } 方法二：把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2时 即 说明：此法是利用方程思想来处理函数问题，一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数，其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为0的讨论. 4．换元法 例4．求函数 的值域 解：设 则 t 0 x=1- 代入得 5．分段函数 例5．求函数y=|x 1| |x-2|的值域. 解法1：将函数化为分段函数形式： ，画出它的图象（下图 ，由图象可知，函数的值域是{y|y 3}. 解法2：∵函数y=|x 1| |x-2|表示数轴上的动点x到两定点-1，2的距离之和，∴易见y的最小值是3，∴函数的值域是. 如图 两法均采用“数形结合”，利用几何性质求解，称为几何法或图象法. 说明：以上是求函数值域常用的一些方法（观察法、配方法、判别式法、图象法、换元法等 ，随着知识的不断学习和经验的不断积累，还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多种方法求解，有的题用某种方法求解比较简捷，同学们要通过不断实践，熟悉和掌握各种解法，并在解题中尽量采用简捷解法.
三、练习： 1 ； 解：∵x 0， ，∴y
11. 另外，此题利用基本不等式解更简捷： 2 ∵2 -4x 30恒成立(为什么？)， ∴函数的定义域为R， ∴原函数可化为2y -4yx 3y-5=0，由判别式 0， 即16 -4×2y
(3y-5)=-8 40y 0(y 0), 解得0 y 5，又∵y 0, ∴0 注意：利用判别式法要考察两端点的值是否可以取到. 3 求函数的值域
① ；
② 解：
①令 0,则 , 原式可化为 , ∵u 0，∴y ，∴函数的值域是（- ， .
②解：令 t=4x- 0 得 0 x 4 在此区间内
(4x- ) =4 ，
(4x- ) =0 ∴函数 的值域是{ y| 0 y 2} 小结:求函数值域的基本方法（直接法、换元法、判别式法 ；二次函数值域（最值 或二次函数在某一给定区间上的值域（最值 的求法. 作业：求函数y= 值域 解：∵ ， ∴函数的定义域R，原式可化为 , 整理得 ， 若y=1,即2x=0,则x=0； 若y 1,∵ R，即有 0， ∴ ,解得 且 y
1. 综上：函数是值域是{y| }.

5.函数值域的求法

1.导数法 利用导数求出其单调性和极值点的极值，最常规，最不易高错，但往往计算很烦杂
2.分离常数 如 x^2/(x^2 1)将其分离成 1－1/(x^2 1)再判断值域
3.分子分母同除以某个变量 如x/(x^2 1)同时除以x得 1/（x 1/X 分母的值域很好求，再带进整个函数即可
4.换元法 可以说是3的拓展 如(x 1)/(x^2 1)一类分子分母同时除以x仍无法判断的。 令t＝x＋1，再把x^2表示成(t-1)^2，再分子分母同时除以t就成了3中的情形
5.基本换元法 型如1/(x 1) 1/(x 1)^2等，直接令t＝1/(x＋1)，求出t的定义域,可以很快将函数换成型如 t^2 t的形式，从而可求值域。当然，要注意t的定义域
6.倒数法 和2基本相同。如x/(x^2 1)先求其倒数x＋1/x,再倒回去，2，6基本类似。 以上是几条比较基本和常用的方法，当然要注意他们的综合应用。

6.求函数值域常用方法

求函数值域的常用方法有：配方法，分离常数法，判别式法，反解法，换元法，不等式法，单调性法，函数有界性法，数形结合法，导数法。 ????????
一、配方法
二、反解法
三、分离常数法
四、判别式法
五、换元法
六、不等式法
七、函数有界性法 ????????直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
八、函数单调性法? ????????先确定函数在其定义域（或定义域的某个子集上 的单调性，再求出函数值域的方法。考虑这一方法的是某些由指数形式的函数或对数形式的函数构成的一些简单的初等函数，可直接利用指数或对数的单调性求得答案；还有一些形如，看a,d是否同号，若同号用单调性求值域，若异号则用换元法求值域；还有的在利用重要不等式求值域失败的情况下，可采用单调性求值域。
九、数形结合法 ????????其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式、直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
十、导数法 ????????利用导数求闭区间上函数的值域的一般步骤：
(1)求导，令导数为0；
(2)确定极值点，求极值；
(3)比较端点与极值的大小，确定最大值与最小值即可确定值域。 ????????总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。

7.求函数值域的方法。

定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围。 求函数的定义域需要从这几个方面入手：
（1 ，分母不为零
（2 偶次根式的被开方数非负。
（3 ，对数中的真数部分大于0。
（4 ，指数、对数的底数大于0，且不等于1
（5 。y=tanx中x≠kπ π/2, y=cotx中x≠kπ等等。 值域是函数y=f(x)中y的取值范围。 常用的求值域的方法：
（1 化归法；
（2 图象法（数形结合 ，
（3 函数单调性法，
（4 配方法，
（5 换元法，
（6 反函数法（逆求法 ，
（7 判别式法，
（8 复合函数法，
（9 三角代换法，
（10 基本不等式法等

8.函数求值域的方法

给你几个例题吧！
1.y=
(2x 1)/x-1 (x2) y=
(2x-2)/(x-1) 3/(x-1) y=2 3/(x-1) x2,x-11,03/(x-1)3 值域2y5
2.y=x-1
(2/x-1 ) (x1) x1,x-10,2/(x-1)0 令x-1=t0 y=t 2/t 双钩函数 值域y=2根号2
3.y=2x/(x的平方 1) (x0) y'=
(2-2x^2)/(x^2 1)^2 x1时y'0 x1时y'0 所以y的最大值在x=1处，y=1 但是x0，所以y0 故值域是0y1
4.y=(x^的平方 3x-2)/x 1 (x-1) y=/(x 1) y=x 2-4/(x 1) y=x 1-4/(x 1) 1 令x 1=t0 所以y=t-4/t 1 函数y在t0时递增 所以值域是y为实数
5.y=x
(4)/x x属于 这是双钩函数 函数在x=2处取得最小值 且在2为单调递增函数 所以值域13/3=y=20/3 能不能先求定义域.然后从定义域出发求值域？ 这个不一定，要看函数是不是单调函数，如果是就可以。如果不是则要根据图像或者其他方法来解决了。

9.求函数值域的方法

在函数的三要素中,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下. 1,直接观察法 对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到. 例1 求函数y=3-的值域. 解: 0 - 0 3- 3 故函数的值域是: 2,配方法 配方法是求二次函数值域最基本的方法之一. 例2,求函数y=-2x 5,x的值域. 解:将函数配方得:y=(x-1) 4,x,由二次函数的性质可知: 当x=1时,y =4 当x=-1,时=8 故函数的值域是: 3,判别式法 例3 求函数y=的值域. 解:原函数化为关x的一元二次方程(y-1)-x (y-1)=0
(1)当y≠1时,xR,△=(-1)-4(y-1)(y-1) 0 解得:y
(2)当y=1,时,x=0,而1 故函数的值域为 例4求函数y=x 的值域. 解:两边平方整理得:2-2(y 1)x y=0
(1) xR,△=4(y 1)-8y0 解得:1-y1 但此时的函数的定义域由x
(2-x)0,得:0x
2. 由△0,仅保证关于x的方程:2-2(y 1)x y=0在实数集R有实根,而不能确保其实根在区间上,即不能确保方程
(1)有实根,由△0求出的范围可能比y的实际范围大,故不能确定此函数的值域为.可以采取如下方法进一步确定原函数的值域. 0x2,y=x 0, =0,y=1 代入方程
(1),解得:=,即当=时,原函数的值域为:. 注:由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除. 4,反函数法 直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域. 例5 求函数y=值域. 解:由原函数式可得:x= 则其反函数为:y= 其定义域为:x≠ 故所求函数的值域为:(-∞,) 5,函数有界性法 直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域. 例6 求函数y=的值域. 解:由原函数式可得:= 0,0 解得:-1 7,换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用. 例9 求函数y=x 的值域. 解:令x-1=t,(t0)则x= 1 ∵y= t 1= ,又t0,由二次函数的性质可知 当t=0时,y=1,当t→0时,y→ ∞. 故函数的值域为 例11 求函数y= 的值域 解:原函数可变形为:y= 上式可看成x轴上的点P(x,0)到两定点A
(3,2),B(-2,-1)的距离之和, 由图可知当点P为线段与x轴的交点时, y=∣AB∣==, 故所求函数的值域为. 例12 求函数y=-的值域 解:将函数变形为:y=- 上式可看成定点A
(3,2)到点P(x,0)的距离与定点B(-2,1)到点P(x,0)的距离之差.即:y=∣AP∣-∣BP∣ 由图可知:
(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时,如点P ,则构成△ABP ,根据三角形两边之差小于第三边, 有 ∣∣AP ∣-∣BP ∣∣∣AB∣== 即:-
(2)当点P恰好为直线AB与x轴的交点时, 有 ∣∣AP∣-∣BP∣∣=∣AB∣= . 综上所述,可知函数的值域为:(-,-). 注:由例11,例12可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A,B在x轴的同侧. 如:例17的A,B两点坐标分别为:
(3,2),(-2,-1),在x轴的同侧; 例18的A,B两点坐标分别为:
(3,2),
(2,-1),在x轴的同侧. 总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细,认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法然后才考虑用其他各种特殊方法.

10.求函数值域的方法有哪些啊

函数值域训练题
1.映射 : A B的概念。在理解映射概念时要注意：⑴A中元素必须都有象且唯一；⑵B中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如
（1 设 是集合 到 的映射，下列说法正确的是 A、 中每一个元素在 中必有象 B、 中每一个元素在 中必有原象 C、 中每一个元素在 中的原象是唯一的 D、 是 中所在元素的象的集合（答：A ；
（2 点 在映射 的作用下的象是 ，则在 作用下点 的原象为点________（答：
（2，－1 ；
（3 若 ， ， ，则 到 的映射有 个， 到 的映射有 个， 到 的函数有 个（答：81,64,81 ；
（4 设集合 ，映射 满足条件“对任意的 ， 是奇数”，这样的映射 有____个（答：12 ；
（5 设 是集合A到集合B的映射，若B={1,2}，则 一定是_____（答： 或{1} .
2.函数 : A B是特殊的映射。特殊在定义域A和值域B都是非空数集！据此可知函数图像与 轴的垂线至多有一个公共点，但与 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如
（1 已知函数 ， ，那么集合 中所含元素的个数有 个（答： 0或1 ；
（2 若函数 的定义域、值域都是闭区间 ，则 ＝ （答：2
3. 同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为 ，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9
4. 求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则 ：
（1 根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数 中 且 ，三角形中 , 最大角 ，最小角 等。如
（1 函数 的定义域是____(答： )；
（2 若函数 的定义域为R，则 _______(答： )；
（3 函数 的定义域是 ， ，则函数 的定义域是__________(答： )；
（4 设函数 ，
①若 的定义域是R，求实数 的取值范围；
②若 的值域是R，求实数 的取值范围（答：
① ；
②
（2 根据实际问题的要求确定自变量的范围。
（3 复合函数的定义域：若已知 的定义域为 ,其复合函数 的定义域由不等式 解出即可；若已知 的定义域为 ,求 的定义域，相当于当 时，求 的值域（即 的定义域 。如
（1 若函数 的定义域为 ，则 的定义域为__________（答： ；
（2 若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________（答： ．
5.求函数值域（最值 的方法：
（1 配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间 上的最值；二是求区间定（动 ，对称轴动（定 的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系 ，如
（1 求函数 的值域（答： ；
（2 当 时，函数 在 时取得最大值，则 的取值范围是___（答： ；
（3 已知 的图象过点
（2,1 ，则 的值域为______（答：
（2 换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如
（1 的值域为_____（答： ；
（2 的值域为_____（答： （令 ， 。运用换元法时，要特别要注意新元 的范围 ；
（3 的值域为____（答： ；
（4 的值域为____（答： ；
（3 函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如求函数 ， ， 的值域（答： 、（0,1 、 ；
（4 单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求 ， ， 的值域为______（答： 、 、 ；
（5 数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如
（1 已知点 在圆 上，求 及 的取值范围（答： 、 ；
（2 求函数 的值域（答： ；
（3 求函数 及 的值域（答： 、 注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在 轴的同侧。
（6 判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次 都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
① 型，可直接用不等式性质，如求 的值域（答：
② 型，先化简，再用均值不等式，如
（1 求 的值域（答： ；
（2 求函数 的值域（答：
③ 型，通常用判别式法；如已知函数 的定义域为R，值域为，求常数 的值（答：
④ 型，可用判别式法或均值不等式法，如求 的值域（答：
（7 不等式法――利用基本不等式 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设 成等差数列， 成等比数列，则 的取值范围是____________.（答： 。
（8 导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数 ， 的最小值。（答：－48 提醒：
（1 求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？
（2 函数的最值与值域之间有何关系？
6.分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要判断 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如
（1 设函数 ，则使得 的自变量 的取值范围是__________（答： ；
（2 已知 ，则不等式 的解集是________（答：
7.求函数解析式的常用方法：
（1 待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式： ；顶点式： ；零点式： ，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式 。如已知 为二次函数，且 ，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为2 ,求 的解析式 。（答：
（2 代换（配凑 法――已知形如 的表达式，求 的表达式。如
（1 已知 求 的解析式（答： ；
（2 若 ，则函数 =_____（答： ；
（3 若函数 是定义在R上的奇函数，且当 时， ，那么当 时， =________（答： . 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即 的定义域应是 的值域。
（3 方程的思想――已知条件是含有 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于 及另外一个函数的方程组。如
（1 已知 ，求 的解析式（答： ；
（2 已知 是奇函数， 是偶函数，且 = ,则 = __（答： 。
8. 反函数：
（1 存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个 值，都有唯一的 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有 有反函数；周期函数一定不存在反函数。如函数 在区间上存在反函数的充要条件是A、 B、 C、 D、 （答：D
（2 求反函数的步骤：
①反求 ；
②互换 、 ；
③注明反函数的定义域（原来函数的值域 。注意函数 的反函数不是 ，而是 。如设 .求 的反函数 （答： ．
（3 反函数的性质：
①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如单调递增函数 满足条件 = x ，其中 ≠ 0 ，若 的反函数 的定义域为 ，则 的定义域是____________（答： .
②函数 的图象与其反函数 的图象关于直线 对称，注意函数 的图象与 的图象相同。如
（1 已知函数 的图象过点
(1,1),那么 的反函数的图象一定经过点_____（答：
（1,3 ；
（2 已知函数 ，若函数 与 的图象关于直线 对称，求 的值（答： ；
③ 。如
（1 已知函数 ，则方程 的解 ______（答：1 ；
（2 设函数f(x)的图象关于点
（1,2 对称，且存在反函数 ，f
(4)＝0，则 ＝ （答：－2
④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如已知 是 上的增函数，点 在它的图象上， 是它的反函数，那么不等式 的解集为________（答：
（2,8 ；
⑤设 的定义域为A，值域为B，则有 ， ，但 。
9.函数的奇偶性。
（1 具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数 ， 为奇函数，其中 ，则 的值是 （答：0 ；
（2 确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性 ：
①定义法：如判断函数 的奇偶性____（答：奇函数 。
②利用函数奇偶性定义的等价形式： 或 （ 。如判断 的奇偶性___.（答：偶函数
③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 轴对称。
（3 函数奇偶性的性质：
①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.
②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.
③若 为偶函数，则 .如若定义在R上的偶函数 在 上是减函数，且 =2，则不等式 的解集为______.（答：
④若奇函数 定义域中含有0，则必有 .故 是 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若 为奇函数，则实数 ＝____（答：1 .
⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差 ”。如设 是定义域为R的任一函数， ， 。
①判断 与 的奇偶性；
②若将函数 ，表示成一个奇函数 和一个偶函数 之和，则 ＝____（答：
① 为偶函数， 为奇函数；
② ＝
⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.
⑦既奇又偶函数有无穷多个（ ，定义域是关于原点对称的任意一个数集 .
10.函数的单调性。
（1 确定函数的单调性或单调区间的常用方法：
①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号 、导数法（在区间 内，若总有 ，则 为增函数；反之，若 在区间 内为增函数，则 ，请注意两者的区别所在。如已知函数 在区间 上是增函数，则 的取值范围是____(答： )；
②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意 型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为 ，减区间为 .如
（1 若函数 在区间（－∞，4 上是减函数，那么实数 的取值范围是______(答： )；
（2 已知函数 在区间 上为增函数，则实数 的取值范围_____（答： ；
（3 若函数 的值域为R，则实数 的取值范围是______(答： 且 )；
③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数 的单调递增区间是________(答：
（1,2 )。
（2 特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围（答： ；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“ ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．
（3 你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（
①比较大小；
②解不等式；
③求参数范围 .如已知奇函数 是定义在 上的减函数,若 ，求实数 的取值范围。（答：
11. 常见的图象变换
①函数 的图象是把函数 的图象沿 轴向左平移 个单位得到的。如设 的图像与 的图像关于直线 对称， 的图像由 的图像向右平移1个单位得到，则 为__________(答： )
②函数 ( 的图象是把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位得到的。如
（1 若 ，则函数 的最小值为____(答：2)；
（2 要得到 的图像，只需作 关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答： ；右)；
（3 函数 的图象与 轴的交点个数有____个(答：2)
③函数 的图象是把函数 助图象沿 轴向上平移 个单位得到的；
④函数 的图象是把函数 助图象沿 轴向下平移 个单位得到的；如将函数 的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线 对称,那么 (答：C)
⑤函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 得到的。如
（1 将函数 的图像上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变 ，再将此图像沿 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答： )；
（2 如若函数 是偶函数，则函数 的对称轴方程是_______(答： )．
⑥函数 的图象是把函数 的图象沿 轴伸缩为原来的 倍得到的.
12. 函数的对称性。
①满足条件 的函数的图象关于直线 对称。如已知二次函数 满足条件 且方程 有等根，则 ＝_____(答： )；
②点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
③点 关于 轴的对称点为 ；函数 关于 轴的对称曲线方程为 ；
④点 关于原点的对称点为 ；函数 关于原点的对称曲线方程为 ；
⑤点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。特别地，点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 ；点 关于直线 的对称点为 ；曲线 关于直线 的对称曲线的方程为 。如己知函数 ,若 的图像是 ,它关于直线 对称图像是 关于原点对称的图像为 对应的函数解析式是___________（答： ；
⑥曲线 关于点 的对称曲线的方程为 。如若函数 与 的图象关于点（-2，3 对称，则 ＝______（答：
⑦形如 的图像是双曲线，其两渐近线分别直线 (由分母为零确定)和直线 (由分子、分母中 的系数确定)，对称中心是点 。如已知函数图象 与 关于直线 对称，且图象 关于点
（2，－3 对称，则a的值为______（答：2
⑧ 的图象先保留 原来在 轴上方的图象，作出 轴下方的图象关于 轴的对称图形，然后擦去 轴下方的图象得到； 的图象先保留 在 轴右方的图象，擦去 轴左方的图象，然后作出 轴右方的图象关于 轴的对称图形得到。如
（1 作出函数 及 的图象；
（2 若函数 是定义在R上的奇函数，则函数 的图象关于____对称 （答： 轴 提醒：
（1 从结论
②
③
④
⑤
⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；
（2 证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴 的对称点仍在图像上；
（3 证明图像 与 的对称性，需证两方面：
①证明 上任意点关于对称中心（对称轴 的对称点仍在 上；
②证明 上任意点关于对称中心（对称轴 的对称点仍在 上。如
（1 已知函数 。求证：函数 的图像关于点 成中心对称图形；
（2 设曲线C的方程是 ,将C沿 轴, 轴正方向分别平行移动 单位长度后得曲线 。
①写出曲线 的方程（答： ；
②证明曲线C与 关于点 对称。
13. 函数的周期性。
（1 类比“三角函数图像”得：
①若 图像有两条对称轴 ，则 必是周期函数，且一周期为 ；
②若 图像有两个对称中心 ，则 是周期函数，且一周期为 ；
③如果函数 的图像有一个对称中心 和一条对称轴 ，则函数 必是周期函数，且一周期为 ； 如已知定义在 上的函数 是以2为周期的奇函数，则方程 在 上至少有__________个实数根（答：5
（2 由周期函数的定义“函数 满足 ，则 是周期为 的周期函数”得：
①函数 满足 ，则 是周期为2 的周期函数；
②若 恒成立，则 ；
③若 恒成立，则 . 如
(1) 设 是 上的奇函数， ，当 时， ，则 等于_____(答： )；
(2)定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 是锐角三角形的两个内角，则 的大小关系为_________(答： )；
（3 已知 是偶函数，且 =993， = 是奇函数，求 的值(答：993)；
（4 设 是定义域为R的函数，且 ，又 ，则 = (答： )
14.指数式、对数式： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 。如
（1 的值为________(答：8)；
（2 的值为________(答： )
15. 指数、对数值的大小比较：
（1 化同底后利用函数的单调性；
（2 作差或作商法；
（3 利用中间量（0或1 ；
（4 化同指数（或同真数 后利用图象比较。
16. 函数的应用。
（1 求解数学应用题的一般步骤：
①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系；
②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域；
③解模――求解所得的数学问题；
④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。
（2 常见的函数模型有：
①建立一次函数或二次函数模型；
②建立分段函数模型；
③建立指数函数模型；
④建立 型。
17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等 的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：
（1 借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：
①正比例函数型： - ；
②幂函数型： - ， ；
③指数函数型： - ， ；
④对数函数型： - ， ；
⑤三角函数型： - 。如已知 是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，则 ____（答：0
（2 利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等 进行演绎探究：如
（1 设函数 表示 除以3的余数，则对任意的 ，都有 A、 B、 C、 D、 （答：A ；
（2 设 是定义在实数集R上的函数，且满足 ，如果 ， ，求 （答：1 ；
（3 如设 是定义在 上的奇函数，且 ，证明：直线 是函数 图象的一条对称轴；
（4 已知定义域为 的函数 满足 ，且当 时， 单调递增。如果 ，且 ，则 的值的符号是____（答：负数
（3 利用一些方法（如赋值法（令 ＝0或1，求出 或 、令 或 等 、递推法、反证法等 进行逻辑探究。如
（1 若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______（答：奇函数 ；
（2 若 ， 满足 ，则 的奇偶性是______（答：偶函数 ；
（3 已知 是定义在 上的奇函数，当 时， 的图像如右图所示，那么不等式 的解集是_____________（答： ；
（4 设 的定义域为 ，对任意 ，都有 ，且 时， ，又 ，
①求证 为减函数；
②解不等式 .（答： ． 函数值定义域训练题
1.已知函数g(x)=f
(3-2x)的定义域为，则函数f(x)的定义域为_____。
2.y=1/设x^2 2x 6为t，(x^2 2x 6)^0.5为a
3.定义域是函数y=f(x)中的自变量x的范围
4.若x,z,y是正数且，x y z=1,求16/x^3 81/8y^3 1/27z^3的最小值。
5.求a的值使得f(x)为单调函数
6.公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个柱子OA，O恰在圆形水面中心，OA=
1.25米.安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路经落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离1米处达到距水面最大高度
2.25米.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外?
7.设计一幅宣传画，要求画面的面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ(λ1) ，画面上下各留8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用的纸张面积最小？如果要求 ，那么λ为何值时，能使宣传画所用的纸张最小？
8.甲，乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/小 时，已知：汽车每小时的运输成本（以元为单位 由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v(千米/小时)的平方成正比，比例系数为b，固定部分为a。
9.已知函数f(x-1)= x2－2x 3,则f(x)=______________, f(x 1)=____________. 加分啊!!