sinx分之一(应粉丝强烈要求，用极限的定义证明第

前段时间写了一篇关于第一个重要极限lim(x-0)sinx/x=1的文章，里面介绍了用夹逼定理（或称极限的迫敛性）的证明方法，并用指明，因为用极限定义证明太过麻烦，所以一般不建议用定义证明。

结果就有网友和老黄较真，问老黄到底是用极限的定义不能证明，还是很难证明，但能证明？老黄说能证明，且老黄已经证明出来了，但理解起来很困难。这位网友似乎不太相信，又继续追问，并且要求老黄分享证明的方法。老黄见这位网友转粉，觉得不能让自己的粉丝失望，所以决定分享这个证明方法。晚点还会拍成视频，和大家分享。

这个证明方法的灵感来自于上面提到的利用极限的迫敛性证明的方法。如果大家还不懂得如何利用夹逼定理证明，可以搜索老黄之前的作品，图文和视频都有介绍，视频的时代比较久远，是前两年分享的。好了，废话不多说，直接进入正题

利用ε-δ定义证明lim(x-0)sinx/x=1。

证先证0xπ/2的情形，（就是先证右极限，由于极限是x无限趋近于0的情形，所以只需要证明x=0附近极小的区域，可以限定x小于任何一个定数，这里选择二分之π，是因为 后面涉及三角函数和反三角函数，保证在它的一个周期内的单调区域做探究）

对任给的正数ε1(正数ε可以限定在一个比较小的区域间)，要使|sinx/x-1|=1-sinx/xε, (因为当x0时，xsinx，且上面限定了0xπ/2，所以sinx0，其实不做限定，对这一步也没有影响，只需sinx/x1，就可以得到这个关系。一般用ε-δ定义证明极限时的一般方法是先给一个δ，不过老黄的方法与众不同，都是先不给δ，后面再直接推出这个δ)。

∵sinx/xsinx/tanx=cosx, （这是因为当x0时，tanxx），∴ 1-sinx/x1-cosx=2(sin(x/2))^2 ,

即要使 2(sin(x/2))^2≤ε=2(sin(2arcsin(根号ε /2)/2)), （就是把ε化为与左边一模一样的形式，这一步很关键，只要不等式成立，那么|sinx/x-1|ε就成立）

只要使δ=2arcsin根号ε(就是说，在符合条件的比较小的区间上，任意ε，都能找到这样的一个正数δ) , 则当xδ时, 就有|sinx/x-1|ε,(这就符合了右极限存在的条件)

∴ lim(x-0 )sinx/x=1.

又由sinx/x是偶函数,∴ lim(x-0-)sinx/x=1.（即左极限也存在，且两个单侧极限相等）

∴ lim(x-0)sinx/x=1. 得证！

大家觉得这个证明怎么样？有没有漏洞呢？欢迎指导讨论！