正三角形是什么(等边三角形)

提要

等边三角形是特殊的三角形，拥有等腰三角形的一切性质。等边三角形每一个角都等于60度，60度的角是一个特殊角，往往与勾股定理，三角函数相联系，因而解答等边三角形问题通常作高将其转化为30度的直角三角形。

知识全解

一．定义与性质

（1） 定义三边都相等的三角形是等边三角形，也称为正三角形。

（2） 性质等边三角形的各个角都等于60度。

二．判定

（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2） 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

提示在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明。若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理（1）；若已知该三角形是等腰三角形，则选择判定定理（2）

典型例题

类型1 根据性质求角度

例1 如图所示，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P。

（1） 求证CE=BF

（2） 求∠BPC的度数

【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证明△BCE≌△ABF

（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图知∠PBC ∠PCB=∠PBC ∠ABF=∠ABC=60，即∠PBC ∠PCB=60，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC的度数

【解答】（1）∵△ABC是等边三角形

∴BC=AB，∠A=∠EBC=60

∴在△BCE与△ABF中

BC=AB，∠A=∠EBC，BE=AF

∴△BCE≌△ABF（SAS）

∴CE=BF

（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF

∴∠BCE=∠ABF

∴∠PBC ∠PCB=∠PBC ∠ABF=∠ABC=60，即∠PBC ∠PCB=60

∴∠BPC=180-60=120

即∠BPC=120

【】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，根据条件发现三角形全等是解答本题的关键，难点在于根据三角形的外角进行等角转化。

类型2 证明等边三角形

例2 如图所示，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是线段AB，BC，CA上的点。

（1） 若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论

（2） 若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论

【分析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形

（2）先证明∠1 ∠2=120，∠2 ∠3=120，可得∠1=∠3。同理可得∠3=∠4，则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD=BE=CF。

【证明】（1）△DEF是等边三角形，证明如下

∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA

又∵AD=BE=CF

∴DB=EC=FA

∴△ADF≌△BED≌△CFE

∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形

（2）AD=BE=CF成立。证明如下

∵△DEF是等边三角形

∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60

∴∠1 ∠2=120

又∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60

∴∠2 ∠3=120

∴∠1=∠3

同理∠3=∠4

∴△ADF≌△BED≌△CFE

∴AD=BE=CF

【】判定一个三角形是等边三角形一般有两种思路证明一个三角形有两个角是60度；证明一个三角形有两边相等，有一个角是60度。