平方根怎么算(怎样计算一个数的平方根？)

看到这个题目，您或许会有两个想法

1.按按计算器就知道了，比如√2=2^0.5=
1.4142135623730950488016887242097……；

2.是不是要介绍“手算开平方”？实在抱歉，曾经的我也不是个十分专心的学生，竟是忘了。，百度一下，再度钻研贴文也是可以的，不过兴趣待定。

其实，本文想说的还就是和想法1有关。您有没有想过计算器又是怎样计算的呢？

我不确定计算器背后的算法一定是什么，但我确定的知道一种比较可行的方法利用迭代函数迭代计算n次方根。今天就先来看看“二次方根”或“平方根”的计算方法。

二次方根迭代函数如下

f(x)=x/2 C/(2x)

其中

x^2=C

或

C^0.5=x

即函数中的C是被开方数，x是求解目标“二次方根”。

（备注呃，请不要问我这个迭代函数是怎么来的，据说和“泰勒级数”有关，这得从“数学分析”中寻找答案，汗……）

什么是“迭代”？

①猜测一个初始值x0，比如x0=1（不会猜，就选1）；

②计算函数值x1，其中x1=f(x0)，即把x0代入迭代函数求值；

③迭代x0=x1；

④反复循环②③两步直至符合指定的精度要求。

可见迭代就是把上一次输出的结果作为下一次输入的结果并反复执行。

这样做神奇吗？来让我们试试。

例1.求根号2的值。

①x0=1

②x1= x/2 C/(2x)=1/2 2/(21)=1.5

③x0=x1=1.5

④x1= x/2 C/(2x)=1.5/2 2/(21.5)≈1.416666667

⑤x0=x1=1.416666667

⑥x1= x/2 C/(2x)=1.416666667/2 2/(21.416666667)≈1.414215686

⑦x0=x1=1.414215686

⑧x1= x/2 C/(2x)=1.414215686/2 2/(21.414215686)≈1.414213562

⑨……

只需迭代4次就可以得到9位小数精度，足够应付很多计算需要了。

例2.求1234567的平方根。

呵呵，手算基本是不可能的，小数位数多，会让人抓狂的，下面是电子表格计算的数据，供参考

第1次 1

第2次 617284

第3次 308643

第4次 154323.5

第5次 77165.74993

第6次 38590.87441

第7次 19311.43279

第8次 9687.68106

第9次 4907.558926

第10次 2579.561651

第11次 1529.078654

第12次 1168.235696

第13次 1112.507369

第14次 1111.111582

第15次 1111.110706

……

迭代了15次后，达到了一般稳定精度要求。不过，如果初始值不是1，而是与准确值更接近一些，比如1000，则迭代次数会大幅下降，如下

第1次 1000

第2次 1117.2835

第3次 1111.127757

第4次 1111.110706

……

仅需4次。初值的选择是很重要的，好的初值估计，算是核心技术。

本文算是帮您打开了一扇门，但，您会发现更多关上的门，比如三次方根呢？四次、五次、小数次、无理数次……方根呢？比如被开方数是小数、负数、无理数……呢？呵呵，这会让我们头很大的。

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