子集个数怎么算(集合的子集的个数)

以前，有个同学问我，为什么当一个集合中元素的个数为n个的时候，它的子集就是

个？当时，我就表扬了他，因为我们高一刚学集合时就接触了这个结论，当时我们老师只是直接给出这个结论，最多就由you特殊到一般归纳下。怎么归纳的呢？就是当一个集合中的元素有一个的时候，就有一个

与它本身这两个子集，就有

个子集；当一个集合有两个元素的时候，即A=

,那么它的子集就有

，

,

,A,所以有

个子集;当一个集合的集合有三个元素的时候，即B=

,那么它的子集有

，

，

,

,

,

,

,B，所以它的子集的个数为

个.......所以我们猜想归纳得出当一个集合中元素的个数为n个的时候，它的子集就是

个。而且当一个集合中元素为零时，即空集，它的子集只有它本身一个，所以它也满足公式

.

以上方法只是粗略地得出结论，我们知道数学结论、定理的得出都是要经过严格的证明的。我当时表扬提问的学生，我们学习理工科，就是要多问几个为什么，做学问、搞科研就要有质疑的精神。下面，我们就简单的证明下这个结论。当一个集合元素的个数有n个的时候，那么它的子集按元素个数可以分(n 1)类，分别是元素个数为0，1，2，3......n个。当子集元素个数为0时，这类子集的个数就是从n个中取0个的组合数，即

个;当子集元素个数为1个时，这类子集的个数就是从n个中取1个的组合数，即

个;当子集元素的个数为2的时候，这类子集的个数就是从n个中取2个的组合数，即

个......当子集的元素个数为n的时候，这类子集的个数就是从n个中取n个的组合数，即

个。，根据二项式定理可知

.至此，该结论得证。

这个结论由于出现在高一，由于当时知识储备不足而无法证明，所以很多同学只是记住了结论，随着学习的深入，等到高二时，我们学习了排列与组合和二项式定理后，只需稍作点拨，就很容易明白了。

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