【知识要点】

中垂线的定义与性质

（1）定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．

（2）性质

①垂直平分线垂直且平分其所在线段．

　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．

角平分线的定义与性质

（1）定义从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线

（2）性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

注意

①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；

②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；

③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言

如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE

三角形的三线高线、角平分线、中线

（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．

（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．

（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

三角形的三心

内心三条角平分线的交点

垂心三条高线的交点

重心三条中线的交点

【特殊三角形的性质】

等腰三角形

（1）等腰三角形的概念

有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性质

①等腰三角形的两腰相等

②等腰三角形的两个底角相等．【简称等边对等角】

③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】

（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到两个元素为结论．

等边三角形

（1）等边三角形的定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；

②可以得到它与等腰三角形的关系等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．

（2）等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．

等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．

直角三角形

两个一半定理

（1）30度角所对的直角边等于斜边的一半。

（2）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

黄金三角形

黄金三角形黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比值．

黄金三角形分两种①等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°；②等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°

【练习】

1．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，△ABC的周长为36，AD＝12，则△ADC的周长为　 　．

2．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中线，BE是高，AD与BE交于点F，则∠AFE＝　 　．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

4．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1＝56°，则∠EGF应为　 　．

5．如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交CA的延长线于点E，∠EBC＝42°，则∠BAC＝（　　）

A．159° B．154° C．152° D．138°

6．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝56°，将△ABC沿着DE翻折，使得点C恰好与点B重合，连接BE，则∠AEB的度数为（　　）

7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACD的平分线，若BD＝2，AC＝8，则△ACD的面积为　 　．

8．如图，OC平分∠AOB，D为OC上一点，DE⊥OB于E，若DE＝5，则D到OA的距离为　 　．