半圆柱的表面积公式(「提优课堂」巧解圆柱体表

《圆柱和圆锥》这一单元学习结束了，学生也做了很多的习题，今天袁老师给大家归纳整理与圆柱表面积的变化有关习题。

圆柱体表面积的变化到底有哪些呢？它们的变化规律又是怎样的呢？通过我在教学中的探讨，圆柱体的表面积变化主要有以下几种情况。

一、圆柱体的拼、截引起表面积的减少或增加

几个小圆柱拼在一起减少了面，并且减少的面就是圆柱的底面，每两个拼在一起，减少2个面（如图1），每3个拼在一起减少4个面（如图2）……即2个拼在一起，拼一次减少2个面，每3个拼在一起拼2次减少2×2个面，每4个拼在起拼3次减少2×3个面……

结论n个相同的小圆柱体拼成较大的圆柱体，较大的圆柱体表面积比小圆柱体的表面积和减少的面积是圆柱的底面积×［（n－1）×2］。

同理，如果把较大的圆柱体截成n个较小的圆柱体，n个小圆柱体的表面积和比原圆柱体的表面积多的面积是圆柱的底面积×［（n－1）×2］。

例1 一根圆柱形木料，底面直径是20厘米，长是1.8米。把它截成3段，使每一段的形状都是圆柱。截开后，表面积增加多少平方厘米？像这样截成4段、5段呢？

分析与解底面积20÷2=250厘米 10×10×π=314平方厘米

截成3段（3－1）×2=4（个） 4×314＝1256平方厘米

截成4段（4－1）×2=6（个） 6×314＝1884平方厘米

截成5段（5－1）×2=8（个） 8×314＝25.12平方厘米

二、圆柱体沿直径截开引起表面积的变化

例2 把一个底面半径4厘米,高5厘米的圆柱体沿直径截开成为2个完全一样的半圆柱，两个半圆柱的表面积和比原圆柱体的表面积增加多少平方厘米？

分析与解截成2个半圆柱，增加的是两个长方形，长方形的长是圆柱的底面直径，高是圆柱的高，所以这道题增加的面积是4×2×5×2＝80平方厘米。

结论圆柱体沿直径截开成为2个完全一样的半圆柱，增加的面积是两个长方形的面积，长方形的长是圆柱的底面直径，高是圆柱的高。

三、圆柱体沿高截掉或增加一定的长度引起表面积的变化

例3 有一个高为8厘米的圆柱体，如果把高截短3厘米，表面积减少94.2平方厘米。这个圆柱体的体积是多少立方厘米？

分析与解把高截短3厘米后圆柱变化情况（1）原来圆柱截掉一部份后，剩下的圆柱体看见三个面，而上面原来是没有的；（2）截掉的一部份是圆柱体，原来没截之前看见两个面，就是减少的面积。我们可以把剩下的圆柱体上的面面积（增加部份）和截掉部分上面的面积（减少的面积）相互抵消，则减少的面积是截掉部份的侧面的面积。

表面积减少94.2平方厘米，就是截掉部份圆柱体侧面的面积是94.2平方厘米，解法是（1）半径94.2÷3÷π÷2＝5厘米；（2）体积π×5×5×8=200π=628立方厘米。

结论圆柱体沿高截掉或增加一定的长度，减少或增加的面积就是截掉或增加部份圆柱体的侧面面积。

四、圆柱体转化成长方体引起表面积的变化

在探究、推导圆柱体的体积计算时，通过把圆柱底面平均分成许多相等的扇形，再拼在一起，发现拼成的图形接近长方体，分的份数越多，就越接近长方体（如图），通过拼图形同学们发现（1）长方体的长相当于圆柱底面周长的一半，宽相当于圆柱的底面半径。（2）圆柱的体积等于长方体的体积。拼成的长方体表面积比圆柱体表面积多了两个面，这两个面是完全一样的长方形，长是圆柱的底面半径，宽是圆柱的高，所以增加的表面积=半径×高×2=直径×高。

例4 把一个高10分米的圆柱体平均分成若干份再拼成一个近似的长方体，表面积增加40平方分米，求圆柱体的表面积和体积？

分析与解这题关键是求圆柱的底面半径，半径40÷2÷10＝2分米，这样此题就转化为已知底面半径是2分米，高10分米，求圆柱体的表面积和体积，这样把复杂问题简单化，同学们很容易就解决了这类问题。