维尔斯特(维尔斯特拉斯函数)

第一次数学危机，是数学史上的一次重要事件，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发现起，到公元前370年左右，以无理数的定义出现为结束标志。

第二次数学危机，指发生在十七、十八世纪，围绕微积分诞生初期的基础定义展开的一场争论，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，基本解决了第一次数学危机的关于无穷计算的连续性的问题，并且将微积分的应用推向了所有与数学相关的学科中。

扩展资料

第三次数学危机来源

经过第一、二次数学危机，人们把数学基础理论的无矛盾性，归结为集合论的无矛盾性，集合论已成为整个现代数学的逻辑基础，数学这座富丽堂皇的大厦就算竣工了。看来集合论似乎是不会有矛盾的，数学的严格性的目标快要达到了。

法国著名数学家庞加莱（1854—1912）于1900年在巴黎召开的国际数学家会议上夸耀道“现在可以说，（数学）绝对的严密性是已经达到了”。

，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素（1872—1970）即宣布了一条惊人的消息集合论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。

1918年，罗素把这个悖论通俗化，称为“理发师悖论”。罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。罗素悖论以及集合论中其它一些悖论，深入到集合论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。于是在数学和逻辑学界引起了一场轩然大波，形成了数学史上的第三次危机。

参考资料来源

参考资料来源

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1、数学的本质在於它的自由。——康扥尔

2、数学是无穷的科学。——赫尔曼外尔

3、数学是符号加逻辑。——罗素

4、二分之一个证明等于0、——高斯

5、数学支配着宇宙。——毕达哥拉斯

6、数学是打开科学大门的钥匙。——培根

7、纯数学是魔术家真正的魔杖。——诺瓦列斯

8、数学是人类的思考中最高的成就。——米斯拉

9、数学是科学之王。——高斯

10、数学是各式各样的证明技巧。——维特根斯坦

11、我们欣赏数学，我们需要数学。——陈省身

12、数学是一切知识中的最高形式。——柏拉图

13、生命只为两件事，发展数学与教授数学。——普尔森

14、数学是一种会不断进化的文化。——魏尔德

15、数学是人类智慧皇冠上最灿烂的明珠。——考特

16、学数学，绝不会有过份的努力。——卡拉吉奥多里

17、数学是研究抽象结构的理论。——布尔巴基学派

18、数学是上帝描述自然的符号。——黑格尔

19、第一是数学，第二是数学，第三是数学。——伦琴

20、数学是一种别具匠心的艺术。——哈尔莫斯

21、数学，科学的女皇；数论，数学的女皇。——c·f·高斯

22、数学家本质上是个着迷者，不迷就没有数学。——努瓦列斯

23、上帝创造了整数，所有其余的数都是人造的。——l·克隆内克

24、数学家实际上是一个著迷者，不迷就没有数学。——诺瓦利斯

25、在数学中最令我欣喜的，是那些能够被证明的东西。——罗素

26、在数学中，我们发现真理的主要工具是归纳和模拟。——拉普拉斯

27、宇宙的伟大建筑是现在开始以纯数学家的面目出现了。——jh京斯

28、数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥。——德·摩根

29、非数学归纳法在数学的研究中，起着不可缺少的作用。——舒尔

30、数学主要的目标是公众的利益和自然现象的解释。——傅立叶

31、新的数学方法和概念，常常比解决数学问题本身更重要。——华罗庚

32、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。——恩格斯

33、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。——纳皮尔

34、数学是一种理性的精神，使人类的思维得以运用到最完善的程度。——克莱因

35、数学——科学不可动摇的基石，促进人类事业进步的丰富源泉。——巴罗

36、一个没有几分诗人气的数学家永远成不了一个完全的数学家。——维尔斯特拉斯

37、在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。――康托尔

38、学习数学要多做习题，边做边思索。先知其然，然后知其所以然。——苏步青

39、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。——g·d·伯克霍夫

40、在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。——广中平佑

41、无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——d·希尔伯特

42、在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。——康扥尔

43、如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

44、一门科学，只有当它成功地运用数学时，才能达到真正完善的地步。——马克思

45、数学是一门演绎的学问，从一组公设，经过逻辑的推理，获得结论。——陈省身

46、在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。——毕达哥拉斯

47、纯数学这门科学再其现代发展阶段，可以说是人类精神之最具独创性的创造。——怀德海

48、一个没有几分诗人才能的数学家决不会成为一个完全的数学家。——魏尔斯特拉斯

49、数无形时少直觉，形少数时难入微，数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。——华罗庚

50、发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。——c·g·达尔文

51、给我五个系数，我讲画出一头大象；给我六个系数，大象将会摇动尾巴。——a·l·柯西

52、不管数学的任一分支是多么抽象，总有一天会应用在这实际世界上。——罗巴切夫斯基

53、如果谁不知道正方形的对角线同边是不可通约的量，那他就不值得人的称号。——柏拉图

54、发现每一个新的群体在形式上都是数学的，因为我们不可能有其他的指导。——达尔文

55、数学不可比拟的永久性和万能性及他对时间和文化背景的独立行是其本质的直接后果。——a·埃博

56、数学中的一些美丽定理具有这样的特性它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。——高斯

57、数学是知识的工具，亦是其它知识工具的泉源。所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。——笛卡儿

58、这是一个可靠的规律，当数学或哲学著作的作者以模糊深奥的话写作时，他是在胡说八道。——a·n·怀德海

59、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。——冯纽曼

60、数论是人类知识最古老的一个分支，他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。——史密斯

61、一个国家只有数学蓬勃的发展，才能展现它国立的强大。数学的发展和至善和国家繁荣昌盛密切相关。——拿破仑
62、宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。——华罗庚

63、当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。——柯普宁

64、数学中没有诺贝尔奖，这也许是件好事。诺贝尔奖太引人注目，会使数学家无法专注于自己的研究。——陈省身

65、数学家通常是先通过直觉来发现一个定理；这个结果对于他是似然的，然后他再着手去制造一个证明。——哈代

66、一个数学家的目的，是要了解数学。历史上数学的进展不外两途增加对于已知材料的了解，和推广范围。——陈省身

67、时间是个常数，但对勤奋者来说，是个‘变数’。用‘分’来计算时间的人比用‘小时’来计算时间的人时间多59倍。——雷巴柯夫

68、在学习中要敢于做减法，就是减去前人已经解决的部分，看看还有那些问题没有解决，需要我们去探索解决。——华罗庚

69、我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到其成就的业绩。――哥德

70、一个人就好像一个分数，他的实际才能好比分子，而他对自己的估价好比分母。分母越大，则分数的值就越小。——托尔斯泰

71、精巧的论证常常不是一蹴而就的，而是人们长期切磋积累的成果。我也是慢慢学来的，而且还要继续不断的学习。——阿贝尔

72、数学中的一些美丽定理具有这样的特性它们极易从事实中归纳出来，但证明却隐藏的极深。数学是科学之王。——高斯

73、以我一生最好的时光追寻那个目标……书已经写成了。现代人读或后代读都无关紧要，也许要等一百年才有一个读者。——开普勒

74、我们能够期待，随着教育与娱乐的发展，将有更多的人欣赏音乐与绘画。，能够真正欣赏数学的人数是很少的。——贝尔斯

75、哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。——柏拉图

76、给我最大快乐的，不是已懂得知识，而是不断的学习；不是已有的东西，而是不断的获取；不是已达到的高度，而是继续不断的攀登。——高斯

77、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。——培根

78、数缺形时少直观，形缺数时难入微“又说”要打好数学基础有两个必经过程先学习、接受“由薄到厚”；再消化、提炼“由厚到薄”。——华罗庚

79、数学对观察自然做出重要的贡献，它解释了规律结构中简单的原始元素，而天体就是用这些原始元素建立起来的。——开普勒

80、我把数学看成是一件有意思的工作，而不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定地说，我对别人的工作比自己的更喜欢。我对自己的工作总是不满意。——拉格朗日

81、现代高能物理到了量子物理以后，有很多根本无法做实验，在家用纸笔来算，这跟数学家想样的差不了多远，所以说数学在物理上有着不可思议的力量。——邱成桐

中国是世界上使用负数的国家．

战国时期李悝（约前455～395）在《法经》中已出现使用负数的实例“衣五人终岁用千五百不足四百五十．”在甘肃居延出土的汉简中，出现了大量的“负算”，如“相除以负百二十四算”、“负二千二百四十五算”、“负四算，得七算，相除得三算”．以负与得相比较，表示缺少，亏空之意，显然来自生活实践的需要． 　

从历史上看，负数产生的另一个原因是由于解方程的需要．据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书《九章算术》记载，由于在解方程组的时候常常会碰到小数减大数的情况，为了使方程组能够解下去，数学家发明了负数．公元前3世纪刘徽在注解《九章算术》时率先给出了负数的定义“两算得矢相反，要以正负以名之”，并辩证地阐明“言负者未必少，言正者未必正于多．”而西方直到1572年，意大利数学家邦贝利（R．Bombelli，1526～1572）在他的《代数学》中才给出了负数的明确定义． 　

由于我国古代数字是用算筹摆出来的，为了区分正数和负数，古代数学家创造了两种方法一种是用不同颜色的算筹分别表示，通常用红筹表示正数，黑筹表示负数；另一种是采取在正数上面斜放一支筹，来表示负数．因为后者的思想较新，很快发展为在数的最前面一位数码上斜放一小横来表示负数．1629年颇具远见的法国数学家吉拉尔（A．Girard，1595～1632）在《代数新发现》中用减号表示负数和减法运算，吉拉尔的负数符号得到人们的公认，一直沿用至今． 　

刘徽在注解《九章算术》“方程”章时给出了正负数的加减法则“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”“异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之”．遗憾的是他未能像正负数的加减运算那样，出正负数乘除运算的一般法则，而是通过具体的例子予以处理．正负数的乘除法则直到1299年元代数学家朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载“同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负．” 　

印度最早使用负数的是婆罗摩芨多（Brahmagupta，598～665），他在628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则，认为负数就是负债和损失，并用小点或小圈标在数字上面表示负数． 　

西方使用负数的是古希腊的丢番图（Diophantus，250年前后），尽管不承认方程的负根，但他已知道“减数乘减数得加数，加数乘减数得减数”．可见对正负数的四则运算他已了如指掌．在解方程中若出现负根，他就放弃这个方程，认为是不可解的．从这可看出负数在西方备受冷落，久久得不到人们的认可．1484年，法国的舒开在《算术三篇》中曾给出二次方程的一个负根，却又不承认它，说它是荒谬的数；意大利学者卡丹在《大术》中承认负根，但认为负数是“假数”．直到1637年笛卡尔（Descarts，1596～1650）在《几何》中认真考虑了方程正负根出现的规律，未加证明地给出了正负号法则，此后才被采用，但依旧议论纷纷．如法国数学家阿纳德（1612～1694）认为若承认－1∶1＝1∶－1，而－1＜1，那么较小数与较大数的比，怎能等于较大数与较小数之比呢?直到1831年，英国著名数学家德摩根（A．DeMan，1806～1871）在他的《论数学的研究和困难》中仍坚持认为负数是荒谬的．他举例说“父亲活56，他的儿子29岁，问什么时候，父亲的岁数将是儿子的2倍?”解方程56＋x＝2（29＋x），得x＝－2，他说这个结果是荒谬的． 　

负数的地位是由德国的维尔斯特拉斯和意大利的皮亚诺确立的．1860年维尔斯在柏林大学的一次讲课时，把有理数定义为整数对，即当m，n为整数时，n／m（m≠0）定义为一个有理数，当m，n中有一个为负整数时，就得到一个负有理数．这就把负数的基础确立在整数基础上．40年后，皮亚诺在著名的《算术原理新方法》（1889）中又用自然数确立了整数的地位设a，b为自然数，则数对（a，b）即“a－b”定义一个整数，当a＞b时为正整数；a＜b时就得到了一个负整数．至此，通过近2000年的努力，历经数十代数学家的前仆后继的工作和努力，负数的地位终于被牢固地确立了，半个多世纪的争论也终于降下了帷幕．

微积分主要是解决积分的运算问题。

微积分，数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。

它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

极限理论

十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。

但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。