小学奥林匹克数学竞赛试题一年级(世界少年奥林

世界少年奥林匹克数学竞赛，八年级选拔赛初赛试题，附参考答案！

本卷作为奥赛题，难度可想而知，本人愚钝，费了老半天，仅可完成三题，然则想倚老卖老，故理乱还正，以飨读者！

第16题，分类讨论好解题。

我们知道，能被3整除的数肯定是3的倍数，若p为能被3整除的整数，则有p=3m(m为整数)；不能被3整除的数其余数可为1，也可为2，比如，若q为不能被3整除的整数，则有q=3n＋1或q=3n＋2(n为整数。

关于p、q，可能出现的情形将有三大类:①p、q都能被3整除(即p=3m、q=3n，m、n皆为整数)；②p、q都不能被3整除(即p=3m＋1或p=3m＋2、n=3n＋1或n=3n＋2)；③p、q有且仅有一个能被3整除(即一个能被3整除，另一个不能被3整除，若p=3m，则q=3n＋1或q=3n＋2；若q=3n，则p=3m＋1或p=3m＋2)。

然后，分别判断p＋q、p－q、pq是否为3的倍数，用图表法最简单直观，如下图所示——

显然，若p、q为整数，则在p＋q、p－q、pq三个数中至少有1个是3的倍数。

第19题，对称式的完美模型。

用x换y、y换x，变换式与原式一样，称原式为轮换对称式，显然，有x=y，这是轮换对称式的一大特征。

比如，a＋b＋c=3abc，用a换b、b换c、c换a后仍为原式，故有a=b=c。

对于本题，若x=0，显然y=0，即x=y=0；若x、y都不为0时，则两边除以x，有y=1＋y/x，因x=y，故y=1＋1=2，即x=y=2。故本题答案为2，即2个整数解。

第20题，数形结合更合宜。

令y1=lxl，y2=ax＋1。则y1与y2的交点即为lxl=ax＋1。画图如下:

①y1的图:

②y2的图:

③y1与y2的有交点，且x为负数而非正数，即a不能小于1，否则x将有正数解。

阴影部分即为y=ax＋1(a>1)的图象位置:

故本题答案为a≥1。