正三角形是什么(等边三角形)

提要

等边三角形是特殊的三角形，拥有等腰三角形的一切性质。等边三角形每一个角都等于60度，60度的角是一个特殊角，往往与勾股定理，三角函数相联系，因而解答等边三角形问题通常作高将其转化为30度的直角三角形。

知识全解

一．定义与性质

（1） 定义：三边都相等的三角形是等边三角形，也称为正三角形。

（2） 性质：等边三角形的各个角都等于60度。

二．判定

（1） 三个角都相等的三角形是等边三角形。

（2） 有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形。

提示：在证明三角形是等边三角形时，根据所给已知条件确定选择用哪个方法证明。若已知三边关系，一般选定义法；若已知三角关系，一般选判定定理（1）；若已知该三角形是等腰三角形，则选择判定定理（2）

典型例题

类型1 根据性质求角度

例1 如图所示，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P。

（1） 求证：CE=BF

（2） 求∠BPC的度数

【分析】（1）欲证明CE=BF，只需证明△BCE≌△ABF

（2）利用（1）中的全等三角形的性质得到∠BCE=∠ABF，则由图知∠PBC ∠PCB=∠PBC ∠ABF=∠ABC=60，即∠PBC ∠PCB=60，所以根据三角形内角和定理求得∠BPC的度数

【解答】（1）∵△ABC是等边三角形

∴BC=AB，∠A=∠EBC=60

∴在△BCE与△ABF中

BC=AB，∠A=∠EBC，BE=AF

∴△BCE≌△ABF（SAS）

∴CE=BF

（2）∵由（1）知△BCE≌△ABF

∴∠BCE=∠ABF

∴∠PBC ∠PCB=∠PBC ∠ABF=∠ABC=60，即∠PBC ∠PCB=60

∴∠BPC=180-60=120

即∠BPC=120

【总结】此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，以及三角形的内角和定理，利用了转化的思想，根据条件发现三角形全等是解答本题的关键，难点在于根据三角形的外角进行等角转化。

类型2 证明等边三角形

例2 如图所示，△ABC是等边三角形，点D，E，F分别是线段AB，BC，CA上的点。

（1） 若AD=BE=CF，问△DEF是等边三角形吗？试证明你的结论

（2） 若△DEF是等边三角形，问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论

【分析】（1）由SAS易证△ADF≌△BED≌△CFE，所以DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形

（2）先证明∠1 ∠2=120，∠2 ∠3=120，可得∠1=∠3。同理可得∠3=∠4，则△ADF≌△BED≌△CFE，故能证明AD=BE=CF。

【证明】（1）△DEF是等边三角形，证明如下：

∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C，AB=BC=CA

又∵AD=BE=CF

∴DB=EC=FA

∴△ADF≌△BED≌△CFE

∴DF=DE=EF，即△DEF是等边三角形

（2）AD=BE=CF成立。证明如下：

∵△DEF是等边三角形

∴DE=EF=FD，∠FDE=∠DEF=∠EFD=60

∴∠1 ∠2=120

又∵△ABC是等边三角形

∴∠A=∠B=∠C=60

∴∠2 ∠3=120

∴∠1=∠3

同理∠3=∠4

∴△ADF≌△BED≌△CFE

∴AD=BE=CF

【总结】判定一个三角形是等边三角形一般有两种思路：证明一个三角形有两个角是60度；证明一个三角形有两边相等，有一个角是60度。