什么是互质(历时8年终获发表，日本数学家证明

晓查 发自 凹非寺
量子位 报道 | 公众号 QbitAI

abc猜想，数学界悬而未决的重要猜想，它的证明过程经过8年的同行评审，终于要在期刊上发表了。

论文作者是日本的天才数学家望月新一，他33岁起就在京都大学担任数学教授。

这一次望月新一的证明，全篇超过600页，2012年就已发表，但足足经过了8年的同行评审才通过，期间开过多次研讨会——但依然有很多数学家无法理解。

据说，这篇论文全球只有十几位数学家深入研究了证明过程。

许多数学家根本无法指出证明过程是对是错，因为根本看不懂。

4月3日，日本京都大学召开了新闻发布会，宣布望月新一证明了它。包括Nature等在内的权威科学传媒组织，也这一重要进展进行了报道。

望月新一没有出席昨天的发布会，他的两位同事说，当他知道自己的论文被接收，终于松了一口气。多年来他从未在公众场合露面。

但也不是没有争议，因为当初接收论文的期刊——日本的PRIMS，主编正是望月新一本人。

如果他的证明是正确的，那么将彻底改变数论。

也正因为如此，才有了学界长达8年的争论。

什么是abc猜想？

abc猜想，最初由法国数学家约瑟夫·奥斯特莱和大卫·马瑟，在1985年提出。

并且一经提出，abc猜想就成为数论领域的重要猜想之一。

只是和哥德巴赫猜想不同的是，向大众说明abc猜想本身，就是一个复杂的过程。

大概如下

有三个互质正整数a、b、c，且c=a b。所谓互质，即它们的最大公约数是1。

8 9 = 17、5 16 = 21是符合条件的一组数字，6 9 = 15不是。

接着，我们把abc的质因数都提取出来，比如5、16、21的质因数是5、2、3、7，这些质因数相乘的结果为210，这个数比原来的三个数大得多。

又比如5、27、32，它们的质因数是5、3、2，相乘结果为30，就比32小。

但第二种情形极为罕见。如果a和b都是小于100的数，我们能找到3044个符合条件的abc组合，其中只有7组满足第二种情形。

而abc猜想要证明的，就是符合第二种情形的abc组合，只有有限个。

数学家们把abc的质因数乘积记作rad(abc)。用严谨的数学语言来表述就是

对于任何ε0，只存在有限个互质正整数的三元组(a, b, c)，c = a b，使得

c rad(abc)1 ε

费马大定理迎刃而解

在人类短期内没法证明的abc猜想的情况下，科学家们想到了一个办法，就是用计算机暴力解决，从小到大依次寻找符合abc猜想第二种情形的组合。

由此衍生出了一个分布式计算项目ABC@Home，就是通过全球各地的电脑穷举计算符合abc猜想条件的三元数组。到2014年5月，人们已经验证了2380万个组合。

虽然有无限个例子或反例不能解决abc猜想，数学家希望借着该计划发现的三元数组的分布模式。

之所以花费大量计算资源去验证，是因为abc猜想在数学界有着重要意义。

和黎曼猜想一样，很多数学领域后续的一些假设都依赖于前者。如果前者得到证明，后者就能轻易得出。

abc猜想的形式是a b=c，著名的费马大定理形式是xn yn=zn，二者非常相似，实际上二者也是强关联。

如果abc猜想为真，那么费马大定理也可以轻松证明。

当年费马一句“空白太小写不下证明”，让这一问题从1637年一直拖到1995年才得以解决。

而通过abc猜想来证明费马大定理的方法，真的能让空白处就能写下证明过程。

所以望月新一这一次，真的做到了吗？

证明过程极具争议

望月新一发表了4篇论文来证明这一猜想，他把自己的研究成果叫做“宇宙际Teichmuller理论”。

按照望月新一的说法，该理论是用于椭圆曲线数字场的Teichmuller理论的算术版本，里面包含了像霍奇剧院（Hodge theaters）这样奇怪的名字。

望月新一的理论并未得到学界广泛认同，600多页的证明被来自德国波恩大学的两位德高望重的数学家质疑。

2018年菲尔兹奖得主、马普所数学研究所所长Peter Scholze说“我认为abc猜想仍未解决，任何人都有机会证明这一点。”

Scholze和他的同事Jakob Stix还曾发表一篇报告，指出在望月新一第三篇论文中“推论3.12”证明过程从根本上来说是有缺陷的。

而该推论对abc猜想的证明至关重要。

和其他部分引理的证明不同，3.12的证明尤其长，总共有9页。Scholze认为这9页证明达到了根本无法遵循逻辑的地步。

Scholze在2018年到京都大学进行了为期一周的访问，与望月新一探讨了这个问题，但双方谁也说服不了谁。

Scholze说“我认为，除非望月新一进行一些非常实质性的修改，并更好地解释这一关键步骤，否则不应该将其视为证明。”

“我真的没有看到一个使我们更接近abc猜想证明的关键思想”，Scholze还补充道。

望月新一的论文也引起了陶哲轩的关注，在当年论文发表的第一时间，陶哲轩就在个人博客中谈到的自己看法，并给出了另一种启发式证明方法。

望月新一研究领域并不是陶哲轩的擅长，所以他之后一直回避对此评论。

这篇论文被期刊接收，并不是abc猜想的终点，也无法让数学家站到望月新一这一边，新的争论还会继续下去。

关于望月新一

，简单介绍一下这位日本天才数学家。

望月新一，1969年出生于日本东京都，5岁随父母前往纽约，16岁就进入普林斯顿大学，3年读完本科，23岁获得博士学位，33岁成为京都大学教授。

他现在是京都大学数理解析研究所教授。研究数论，包括算术几何，霍奇理论和远阿贝尔几何。

有意思的是，还有人曾猜测，望月新一就是比特币发明人“中本聪”。

不过这种猜测的疑点很多，因为比特币用到的密码学不是望月新一的研究方向，而且他作为一个纯粹的数学家，对现实世界的问题也不太关心。

的，如果你对望月新一这一abc猜想证明有其他看法，也欢迎告诉我们。

参考资料

nature/articles/d41586-020-00998-2

quantamagazine/titans-of-mathematics-clash-over-epic-proof-of-abc-conjecture-20180920/

futurism/the-byte/mathematicians-shocked-paper-published

— 完 —

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